Matematikawan Mengecoh Konspirasi Angka Tersembunyi, Ssbuah bukti baru telah membantah konspirasi yang dikhawatirkan para matematikawan akan menghantui garis bilangan. Dengan melakukan itu, itu telah memberi mereka seperangkat alat untuk memahami blok bangunan dasar aritmatika, bilangan prima.
Menurut gitit.net Dalam sebuah makalah yang diposting Maret lalu , Harald Helfgott dari Universitas Göttingen di Jerman dan Maksym Radziwi dari Institut Teknologi California mempresentasikan solusi yang ditingkatkan untuk formulasi tertentu dari dugaan Chowla, sebuah pertanyaan tentang hubungan antara bilangan bulat.
Dugaan memprediksi bahwa apakah satu bilangan bulat memiliki faktor prima genap atau ganjil tidak mempengaruhi apakah bilangan bulat berikutnya atau sebelumnya juga memiliki faktor prima genap atau ganjil. Artinya, bilangan-bilangan terdekat tidak berkolusi tentang beberapa sifat aritmatika paling dasar mereka.
Penyelidikan yang tampaknya langsung itu terkait dengan beberapa pertanyaan matematika terdalam yang belum terpecahkan tentang bilangan prima itu sendiri. Membuktikan dugaan Chowla adalah “semacam pemanasan atau batu loncatan” untuk menjawab masalah yang lebih sulit itu, kata Terence Tao dari University of California, Los Angeles.
Namun selama beberapa dekade, pemanasan itu sendiri merupakan tugas yang hampir mustahil. Hanya beberapa tahun yang lalu para matematikawan membuat kemajuan, ketika Tao membuktikan versi yang lebih mudah dari masalah yang disebut dugaan logaritmik Chowla. Tetapi meskipun teknik yang dia gunakan digembar-gemborkan sebagai inovatif dan menarik, itu menghasilkan hasil yang tidak cukup tepat untuk membantu membuat kemajuan tambahan pada masalah terkait, termasuk tentang bilangan prima. Matematikawan mengharapkan bukti yang lebih kuat dan lebih dapat diterapkan secara luas.
Sekarang, Helfgott dan Radziwiłł telah menyediakan hal itu. Solusi mereka, yang mendorong teknik dari teori graf tepat ke inti teori bilangan, telah menghidupkan kembali harapan bahwa dugaan Chowla akan memenuhi janjinya — yang pada akhirnya mengarahkan matematikawan ke ide-ide yang mereka perlukan untuk menghadapi beberapa pertanyaan mereka yang paling sulit dipahami.
Baca Juga : 5 Matematikawan Brilian dan Dampaknya di Dunia Modern
Teori konspirasi
Banyak masalah terpenting teori bilangan muncul ketika matematikawan berpikir tentang bagaimana perkalian dan penjumlahan berhubungan dalam hal bilangan prima.
Bilangan prima itu sendiri didefinisikan dalam istilah perkalian: Mereka tidak dapat dibagi oleh bilangan lain selain dirinya sendiri dan 1, dan ketika dikalikan bersama, bilangan tersebut membentuk bilangan bulat lainnya. Tetapi masalah tentang bilangan prima yang melibatkan penjumlahan telah mengganggu matematikawan selama berabad-abad. Misalnya, dugaan bilangan prima kembar menegaskan bahwa ada banyak bilangan prima yang berbeda hanya 2 (seperti 11 dan 13). Pertanyaannya menantang karena menghubungkan dua operasi aritmatika yang biasanya hidup secara independen satu sama lain.
“Sulit karena kita mencampurkan dua dunia,” kata Oleksiy Klurman dari University of Bristol.
Intuisi memberi tahu ahli matematika bahwa menambahkan 2 ke suatu bilangan harus sepenuhnya mengubah struktur perkaliannya — artinya tidak boleh ada korelasi antara apakah suatu bilangan prima (sifat perkalian) dan apakah bilangan dua unit jauhnya prima (sifat aditif). Para ahli teori bilangan tidak menemukan bukti yang menunjukkan bahwa korelasi semacam itu ada, tetapi tanpa bukti, mereka tidak dapat mengesampingkan kemungkinan bahwa suatu korelasi mungkin muncul pada akhirnya.
“Yang kita tahu, mungkin ada konspirasi besar bahwa setiap kali bilangan n memutuskan untuk menjadi prima, ia memiliki beberapa perjanjian rahasia dengan tetangganya n + 2 yang mengatakan bahwa Anda tidak diperbolehkan menjadi bilangan prima lagi,” kata Tao.
Tidak ada yang mendekati untuk mengesampingkan konspirasi semacam itu. Itu sebabnya, pada tahun 1965, Sarvadaman Chowla merumuskan cara yang sedikit lebih mudah untuk memikirkan hubungan antara angka-angka yang berdekatan. Dia ingin menunjukkan bahwa apakah suatu bilangan bulat memiliki faktor prima genap atau ganjil — suatu kondisi yang dikenal sebagai “paritas” dari jumlah faktor primanya — tidak boleh dengan cara apa pun membiaskan jumlah faktor prima tetangganya.
Pernyataan ini sering dipahami dalam istilah fungsi Liouville, yang memberikan bilangan bulat nilai 1 jika mereka memiliki bilangan ganjil faktor prima (seperti 12, yang sama dengan 2 × 2 × 3) dan +1 jika mereka memiliki bilangan genap (seperti 10, yang sama dengan 2 × 5). Dugaan memprediksi bahwa seharusnya tidak ada korelasi antara nilai yang diambil fungsi Liouville untuk bilangan berurutan.
Banyak metode tercanggih untuk mempelajari bilangan prima gagal dalam mengukur paritas, itulah tepatnya dugaan Chowla. Matematikawan berharap dengan memecahkannya, mereka akan mengembangkan ide-ide yang dapat mereka terapkan pada masalah seperti dugaan bilangan prima kembar.
Namun, selama bertahun-tahun, itu tetap tidak lebih dari itu: harapan yang fantastis. Kemudian, pada tahun 2015, semuanya berubah.
Mendispersi Cluster
Radziwiłł dan Kaisa Matomäki dari University of Turku di Finlandia tidak berangkat untuk memecahkan dugaan Chowla. Sebaliknya, mereka ingin mempelajari perilaku fungsi Liouville dalam interval pendek. Mereka telah mengetahui bahwa, rata-rata, fungsinya adalah +1 separuh waktu dan 1 separuh waktu. Tetapi masih mungkin bahwa nilainya mungkin mengelompok, muncul dalam konsentrasi panjang dari semua +1 atau semua 1.
Pada tahun 2015, Matomäki dan Radziwiłł membuktikan bahwa klaster tersebut hampir tidak pernah terjadi . Karya mereka, yang diterbitkan pada tahun berikutnya, menetapkan bahwa jika Anda memilih bilangan acak dan melihat, katakanlah, ratusan atau ribuan tetangga terdekatnya, kira-kira setengahnya memiliki faktor prima bilangan genap dan setengah bilangan ganjil.
“Itu adalah bagian besar yang hilang dari teka-teki itu,” kata Andrew Granville dari Universitas Montreal. “Mereka membuat terobosan luar biasa yang merevolusi seluruh subjek.”
Itu adalah bukti kuat bahwa angka-angka tidak terlibat dalam konspirasi skala besar — tetapi dugaan Chowla adalah tentang konspirasi pada tingkat terbaik. Di situlah Tao masuk. Dalam beberapa bulan, dia melihat cara untuk membangun karya Matomäki dan Radziwiłł untuk menyerang versi masalah yang lebih mudah dipelajari, dugaan logaritmik Chowla. Dalam formulasi ini, bilangan-bilangan yang lebih kecil diberi bobot yang lebih besar sehingga mereka memiliki kemungkinan yang sama untuk dijadikan sampel sebagai bilangan bulat yang lebih besar.
Tao memiliki visi tentang bagaimana bukti dugaan logaritmik Chowla bisa berjalan. Pertama, dia akan berasumsi bahwa dugaan logaritmik Chowla salah — bahwa sebenarnya ada konspirasi antara jumlah faktor prima dari bilangan bulat berurutan. Kemudian dia akan mencoba untuk menunjukkan bahwa konspirasi semacam itu dapat diperkuat: Pengecualian untuk dugaan Chowla tidak hanya berarti konspirasi di antara bilangan bulat yang berurutan, tetapi konspirasi yang jauh lebih besar di sepanjang petak-petak garis bilangan.
Dia kemudian akan dapat mengambil keuntungan dari hasil sebelumnya Radziwiłł dan Matomäki, yang telah mengesampingkan konspirasi yang lebih besar dari jenis ini. Contoh tandingan dari dugaan Chowla akan menyiratkan kontradiksi logis — artinya itu tidak mungkin ada, dan dugaan itu harus benar.
Tapi sebelum Tao bisa melakukan semua itu, dia harus menemukan cara baru untuk menghubungkan angka.
Meningkatkan Konspirasi
Tao telah membangun grafik yang menghubungkan dua bilangan bulat jika mereka berbeda dengan bilangan prima dan habis dibagi oleh bilangan prima itu. Helfgott dan Radziwiłł menganggap grafik “naif” baru yang menghilangkan kondisi kedua itu, menghubungkan bilangan hanya jika mengurangkan satu dari yang lain menghasilkan bilangan prima.
Baca Juga : Teori Relativitas Umum Einstein Terbukti Kebenaranya
Efeknya adalah ledakan tepi. Pada graf naif ini, 1.001 tidak hanya memiliki enam koneksi dengan simpul lain, tetapi memiliki ratusan. Tetapi grafiknya juga jauh lebih sederhana daripada grafik Tao dalam hal utama: Berjalan-jalan secara acak di sepanjang tepinya tidak memerlukan pengetahuan tentang pembagi prima dari bilangan bulat yang sangat besar. Itu, bersama dengan kepadatan tepi yang lebih besar, membuatnya lebih mudah untuk menunjukkan bahwa setiap lingkungan dalam grafik naif memiliki properti expander — yang mungkin Anda dapatkan dari simpul mana pun ke simpul lainnya dalam sejumlah kecil langkah acak.
Helfgott dan Radziwiłł perlu menunjukkan bahwa grafik naif ini mendekati grafik Tao. Jika mereka dapat menunjukkan bahwa kedua grafik itu serupa, mereka akan dapat menyimpulkan sifat-sifat grafik Tao dengan melihatnya sebagai gantinya. Dan karena mereka telah mengetahui bahwa grafik mereka adalah ekspander lokal, mereka dapat menyimpulkan bahwa grafik Tao juga demikian (dan oleh karena itu dugaan logaritmik Chowla benar).
Tetapi mengingat bahwa grafik naif memiliki lebih banyak tepi daripada milik Tao, kemiripan itu terkubur, jika memang ada.
“Apa artinya ketika Anda mengatakan grafik ini terlihat mirip satu sama lain?” kata Helfgott.