Haruskah Teorema Pythagoras Diganti Namanya Nenjadi Teorema Thalean?

Haruskah Teorema Pythagoras Diganti Namanya Nenjadi Teorema Thalean? – Di antara rekan-rekan saya yang bekerja di bidang sains, matematika, dan filsafat kuno, pandangan konvensional adalah bahwa Pythagoras (c. 570-495 SM) telah didiskreditkan sebagai penemu teorema terkenal yang menyandang namanya karena laporan yang menghubungkannya dengan itu dinilai terlambat untuk menjadi kesaksian yang aman. Argumen saya di sini adalah bahwa teorema itu mungkin telah “divisualisasikan” oleh Thales (c. 625-545 SM) dan karenanya sudah dipahami pada pertengahan abad ke – 6 , c. 550 SM, mendorong kembali penemuan Yunani sebanyak setengah abad atau lebih.

Haruskah Teorema Pythagoras Diganti Namanya Nenjadi Teorema Thalean?

 Baca Juga : 8 Tokoh Matematikawan Terbesar Sepanjang Masa

Bukti: kosmos dibangun dari segitiga siku-siku

gitit – Untuk mendapatkan latar belakang untuk cerita ini, saya mengarahkan pembaca untuk esai saya sebelumnya di mana saya mencoba untuk menunjukkan bahwa Plato Timaeus (mid-4 th abad SM) sekarang mengenang apa yang saya sebut “narasi yang hilang” – sambungan filsafat dan geometri di Thales dan Pythagoras. Plato Timaeus mengumumkan pandangan segitiga siku-siku adalah sosok geometris dasar. Logikanya adalah sebagai berikut:

Semua benda memiliki permukaan, dan setiap permukaan dapat dibedah menjadi segitiga. Di dalam setiap segitiga ada dua segitiga siku-siku .

Jika kita terus membagi dari sudut siku-siku, kita dapat membuat dua segitiga siku-siku yang serupa, sama kaki dan skalene.

Pembagian ini menjadi segitiga yang lebih kecil dan lebih kecil dapat berlanjut selamanya . Oleh karena itu, seluruh kosmos dibangun dari segitiga siku-siku !

Tidak ada yang bisa membuat klaim besar seperti itu tanpa bukti, atau garis penalaran, untuk menunjukkan bahwa segitiga siku-siku adalah sosok geometris dasar. Tampaknya bagi saya – dan ini sepenuhnya diabaikan dalam literatur sekunder – bahwa buktinya adalah teorema Pythagoras.

Tetapi izinkan saya menekankan satu hal yang jarang diangkat dalam masalah Yunani ini: bukti yang mana? Karena kita tahu bahwa ada lebih dari 350 bukti teorema Pythagoras, mana yang digunakan? Apakah salah satu bukti itu menunjukkan bahwa segitiga siku-siku adalah sosok geometris dasar dari semua penampakan kosmik?

Ya, tampaknya bagi saya bahwa garis dari salah satu dari dua bukti yang diawetkan oleh Euclid VI.31 — pembuktian dengan segitiga siku-siku yang serupa, yang disebut pembesaran teorema Pythagoras — hanya mengikuti garis penalaran ini. Bisakah Thales memvisualisasikan teorema sisi miring di sepanjang garis ini dan Pythagoras (atau pengikutnya, Pythagoras) membuktikannya nanti? Mungkin konsensus ilmiah salah? Pythagoras mungkin telah membuktikan teorema seperti yang sudah divisualisasikan oleh kontemporer yang lebih tua, Thales.

Visi Thales

Jika Thales memvisualisasikannya, bagaimana tepatnya?

Di antara proposisi geometris yang dikaitkan dengan nama Thales adalah proposisi segitiga sama kaki: jika sebuah segitiga memiliki dua sisi yang sama panjang, sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut harus sama. Proposisi ini sangat penting dalam penemuan geometris lain yang dikaitkan dengan Thales bahwa setiap segitiga yang tertulis dalam lingkaran pada diameternya harus siku-siku.

segitiga siku-siku sama kaki di sebelah kiri, dan segitiga siku-siku di sebelah kanan. Ketika Thales menyadari hal ini, dia memiliki cara untuk membuat segitiga siku-siku yang tak terhitung jumlahnya untuk penyelidikan lebih lanjut. Dia tahu sudut-sudut di setiap segitiga berjumlah dua sudut siku-siku (yaitu, 180 °). Pada diagram di sebelah kiri, karena BD dan AD keduanya adalah jari-jari lingkaran ABC, mereka harus sama panjang, sehingga sudut dan harus sama. Sudut ADB siku-siku, jadi setiap sudut harus sama dengan setengah dari sudut siku-siku. Orang dapat langsung melihat argumennya sama, ceteris paribus , untuk , dan karenanya sama dengan setengah sudut siku-siku. Oleh karena itu, + juga sama dengan satu sudut siku-siku, dan setiap segitiga yang dibuat dalam lingkaran pada diameternya harus siku-siku.

Sekarang, jika Thales mengikuti garis pemikiran ini, dia dapat melihat ke dalam setiap segitiga siku-siku, saat mereka runtuh (atau mengembang) oleh tegak lurus AD dari sudut kanan A ke sisi miring BC, mereka melakukannya dalam sebuah pola: bujur sangkar pada tegak lurus AD (yaitu, bujur sangkar yang dibatasi oleh AD dan DC, yang sama panjangnya) sama luasnya dengan persegi panjang yang dibuat oleh dua bagian BC di mana tegak lurus membagi sisi miring. (Bayangkan persegi panjang kedua — dalam hal ini, juga persegi — memiliki panjang BD dan lebar DC setelah segmen garis terakhir ini “dilipat” ke bawah.)

Melihat pola itu berarti menemukan “proporsi rata-rata” atau “proporsi kontinu” (BD:AD :: AD:DC).

Ini segera terlihat dalam kasus segitiga siku-siku sama kaki (ditunjukkan di sebelah kiri). Karena BD, AD, dan DC semuanya adalah jari-jari lingkaran, mereka harus sama panjangnya, sehingga bujur sangkar pada AD/DC sama dengan bujur sangkar yang dibuat oleh dua bagian di mana sisi miringnya dibagi, BD/DC. Untuk segitiga siku-siku, ekivalensi luas — yaitu, kuadrat pada AD/DC sama dengan persegi panjang pada BD/DC (setelah DC “dilipat” ke bawah membuat lebar persegi panjang) — harus dikonfirmasi secara empiris, dengan kompas dan penggaris.

Sekarang, jika Thales memperhatikan pola proporsi kontinu ini di mana segitiga siku-siku runtuh (atau mengembang), dia mungkin telah melihat lebih dekat dan bertanya-tanya apakah ada “perbandingan rata-rata” lain yang dapat ditemukan. Jika dia melakukannya, dia berada dalam posisi untuk mengamati bahwa memang ada dua lagi.

Pada segitiga siku-siku yang ditunjukkan di bawah (di sebelah kanan), seluruh sisi miring (BC) dari segitiga terbesar ABC adalah sisi terpendeknya (AC) sebagai sisi miring (AC) dari segitiga terkecil ADC adalah sisi terpendeknya (DC ). Dengan kata lain, BC:AC ::AC:DC.

Dalam kasus segitiga siku-siku sama kaki (ditunjukkan di atas di sebelah kiri), tegak lurus membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga yang lebih kecil sama, tetapi proporsi kontinu masih muncul: BC:AC :: AC:DC. Secara geometris, ini berarti bahwa persegi pada AC sama dengan gambar yang dibuat oleh dua bagian di mana sisi miring dibagi, yaitu persegi panjang.

Secara simetris, pada sisi lain BC:AB :: AB:BD, maka persegi pada AB sama dengan persegi panjang yang dibuat oleh dua bagian yang sisi miringnya dibagi. Seseorang dapat melihat ekivalensi luas ini segera dalam kasus segitiga siku-siku sama kaki; segitiga siku-siku skalene harus diukur secara empiris untuk mengkonfirmasi.

Kasus penemuan Thales tentang teorema sisi miring

Visualisasi dua “perbandingan rata-rata” atau “perbandingan kontinu” adalah visualisasi salah satu bukti teorema Pythagoras. Seandainya Thales mengikuti alur penalaran ini, dia akan memvisualisasikan teorema sisi miring sebelum zaman Pythagoras dan Pythagoras. Dan dia akan melakukannya sebagai konsekuensi tak terduga dari mencari dan mengidentifikasi sosok geometris dasar — ​​segitiga siku-siku — dan kemudian melihat ke dalam untuk melihat apa lagi yang mungkin dia temukan.

Menurut Aristoteles, Thales dan para filsuf paling awal mengemukakan sifat dasar yang mendasari dari mana segala sesuatu muncul; Thales menyebutnya air . Karena kesatuan mendasar ini tidak pernah musnah, semua penampakan hanyalah perubahan atau modifikasi air. Bagaimana ini terjadi? Mungkinkah penjelajahan Thales dalam geometri adalah untuk menemukan struktur dasar air, dan dia menyimpulkan bahwa itu adalah segitiga siku-siku? Jika demikian, sekarang kita dapat melihat dari Timaeus karya Plato , melihat ke belakang satu setengah abad, bagaimana proyek mulai membangun kosmos dari segitiga siku-siku.

, ,