Filsafat, Matematika, Logika dan Komputer

Filsafat, Matematika, Logika dan Komputer – Matematikawan adalah salah satu makhluk paling filosofis bawaan di planet ini. Matematika adalah aktivitas yang aneh: melibatkan membicarakan hal-hal dengan cara yang lucu, menikmati abstraksi, dan menemukan makna mendalam dalam ucapan yang terdengar seperti omong kosong bagi orang lain.’

Filsafat, Matematika, Logika dan Komputer

 Baca Juga : Ilmu Komputer dan Filsafat Memiliki Lebih Banyak Kesamaan Daripada yang Anda Pikirkan

gitit – ‘Logika masih menjadi kambing hitam komunitas matematika. Apa yang saya sukai dari logika adalah bahwa ia menyentuh filsafat, matematika, ilmu komputer, linguistik, ilmu kognitif, dan disiplin ilmu lainnya. Itu bagian dari apa yang membuatnya begitu menarik. Tetapi itu juga berarti bahwa logika mudah menjadi yatim piatu. Para filsuf menganggapnya terlalu mirip matematika, dan matematikawan menganggapnya terlalu mirip dengan ilmu komputer.’

‘Satu-satunya cara yang saya tahu untuk memahami metafisika dan epistemologi matematika adalah memulai dengan metode matematika. Matematika dirancang untuk memungkinkan kita bernalar secara efisien dan efektif, dan itu memiliki pengaruh kuat pada jenis objek yang kita bicarakan dan cara kita membicarakannya. Saya tidak bisa melihat bagaimana memahami sifat objek matematika tanpa memahami perannya dalam pemikiran matematika.’

‘David Hilbert adalah salah satu matematikawan paling berpengaruh sepanjang masa. Dia membuat kontribusi mani di seluruh matematika, aljabar, teori bilangan, analisis, fisika matematika, kombinatorik, dan banyak lagi. Dia mengembangkan minat pada logika dan dasar-dasar matematika sekitar pergantian abad kedua puluh. Sekitar waktu itu, ditemukan bahwa penggunaan naif dari penalaran set-teoritis dan penalaran tentang yang tak terbatas menimbulkan kontradiksi.’

‘ Kami yang bekerja di bidang logika mengamati perkembangan terbaru dalam pembelajaran mendalam dengan gentar. AI telah lama dibagi antara simbolik, metode berbasis logika di satu sisi, dan perkiraan, teknik statistik di sisi lain. Fakta bahwa jaringan saraf memiliki kesuksesan yang luar biasa dengan permainan seperti go and chess membuat kita bertanya-tanya apakah mereka akan menggantikan metode simbolis sepenuhnya. ‘

Jeremy Avigad adalah profesor di Departemen Filsafat dan Departemen Ilmu Matematika dan terkait dengan program interdisipliner Carnegie Mellon dalam Logika Murni dan Terapan. Dia tertarik pada logika matematika dan teori pembuktian, verifikasi formal dan penalaran otomatis serta sejarah dan filsafat matematika. Di sini ia membahas hubungan antara filsafat dan matematika, filsafat matematika dan filsafat analitik, inovasi matematika awal abad kedua puluh, Hilbert dan Henri Poincare, logika matematika, perbedaan antara sintaks dan semantik, tentang tidak dogmatis tentang fondasi, perubahan dalam matematika, peran komputer dalam penyelidikan matematika, modularitas matematika, apakah matematika ditemukan atau dirancang, mengapa David Hilbert penting, dan verifikasi formal,

G: Apa yang membuatmu menjadi seorang filsuf?

Jeremy Avigad: Gelar sarjana saya adalah matematika, khususnya logika, tetapi saya telah memikirkan matematika hampir selama saya melakukannya. Carnegie Mellon-lah yang mengubah filsafat menjadi profesi bagi saya. Saya selalu berterima kasih kepada departemen saya karena mengakui bahwa pekerjaan dasar yang dilatih untuk saya lakukan adalah penting secara filosofis, dan karena memberi saya ruang untuk menggunakan latar belakang itu untuk menjelajahi sejarah dan filsafat matematika.

G: Anda tertarik dengan filsafat matematika . Apakah kekhawatiran filosofis muncul di hari kerja rata-rata matematikawan atau apakah filosofi seperti ornitologi bagi burung – akan berguna jika mereka mengaksesnya – tetapi tidak?

JA: Matematikawan adalah salah satu makhluk paling filosofis di planet ini. Matematika adalah kegiatan yang aneh: melibatkan berbicara tentang hal-hal dengan cara yang lucu, menikmati abstraksi, dan menemukan makna yang mendalam dalam ucapan yang terdengar seperti omong kosong untuk orang lain. Apa yang matematikawan lakukan sehari-hari dipandu oleh penilaian tentang apa artinya melakukan matematika dan apa artinya melakukannya dengan baik: jenis pertanyaan apa yang alami, jenis masalah apa yang menarik, jenis solusi apa yang sesuai, dan sebagainya. Matematikawan membicarakan hal-hal ini sepanjang waktu, mungkin tidak dengan jenis ketelitian dan ketepatan yang ingin kita lihat sebagai filsuf, tetapi pandangan-pandangan ini merupakan inti dari apa yang mereka lakukan.

Filsafat, bila dilakukan dengan baik, dapat membantu kita berpikir lebih baik tentang apa yang kita lakukan. Filsafat matematika khususnya dapat membantu kita mengartikulasikan tujuan matematika dan memahami metodenya, dan memahami bagaimana metode tersebut sesuai dengan tujuan. Para filsuf pandai mengembangkan cara yang ketat untuk membicarakan hal-hal seperti ini, tetapi kita perlu ingat bahwa, ketika kita melakukan filsafat matematika, kita berbicara tentang matematika dan bukan permainan manik-manik kosong. Filsuf dan matematikawan membawa keterampilan yang berbeda ke meja, tapi kami memikirkan hal yang sama, dan dapat membantu satu sama lain.

G:Filsafat matematika sangat penting untuk filsafat analitik bukan – baik sebagai subjek penyelidikan dan sebagai tengara dalam lanskap filosofis yang lebih luas – dapatkah Anda memberi kami gambaran tentang pentingnya ini seperti yang Anda lihat?

J:Seperti yang saya lihat, apa yang membuat matematika istimewa adalah kejelasan dan ketepatan bahasa dan metode penyimpulannya. Yang paling penting adalah aturan komunikasi: bagaimana saya diharapkan untuk mengajukan klaim, bagaimana Anda diizinkan untuk menentangnya, bagaimana saya diizinkan untuk menanggapi, dan seterusnya. Kekacauan dunia empiris dijaga, dan matematika menyediakan mekanisme yang memungkinkan kita untuk mencapai kesepakatan apakah kita memiliki teorema. Mungkin kita sedang mencari teorema yang akan membantu kita membuat pesawat terbang atau memprediksi pasar saham, tetapi bahkan jika itu tidak berjalan sebaik yang kita harapkan, teorema tetaplah teorema, dan jadi bagian dari matematika.

Fokus sempit pada komunikasi dan sarana untuk mencapai kesepakatan membuatnya lebih mudah untuk berpikir tentang matematika daripada aspek lain dari kehidupan kita sehari-hari. Bahasa biasa itu rumit dan berantakan, tetapi bahasa matematikanya teratur dan rapi. Konsep-konsep yang muncul dalam wacana biasa sulit diatur, tetapi konsep-konsep matematika dikendalikan dengan hati-hati. Mustahil untuk memahami semua mekanisme kognitif yang kita gunakan untuk bertahan dalam kehidupan kita sehari-hari, tetapi penalaran matematis dapat diterima untuk dipelajari secara sistematis.

Itu tidak berarti bahwa bahasa alami dan bentuk-bentuk penalaran lainnya tidak penting. Tapi matematika adalah tempat yang baik untuk mendirikan base camp, dan kita bisa membuatnya lebih jauh jika kita menjelajah dari sana.

G: Awal abad kedua puluh tampaknya telah menjadi masa fondasi dan inovasi matematika. Anda mengatakan bahwa inovasi-inovasi ini adalah reaksi terhadap metode teoretis dan nonkonstruktif himpunan yang telah menjadi lazim. Jadi pertama-tama, dapatkah Anda membuat sketsa untuk kami apa yang diklaim oleh dua hal ini – mengapa mereka dipandang sebagai cara terbaik untuk mendekati matematika pada saat itu?

JA: Untuk sebagian besar sejarahnya, matematika adalah tentang algoritma dan perhitungan. Elemen Euclid adalah tentang konstruksi geometris. Aljabar adalah tentang memecahkan persamaan. Probabilitas adalah tentang memprediksi peluang dalam permainan peluang dan membuat perkiraan statistik. Kalkulus adalah tentang menjelaskan gerakan planet-planet dan membuat prediksi tentang sistem yang berubah dari waktu ke waktu.

Pada abad kesembilan belas, ketika matematikawan mendorong batas-batas mata pelajaran seperti ini, detail teknis menjadi berat. Ketika masyarakat mengatasi kompleksitas yang berkembang, beberapa orang mulai bersikeras bahwa tujuan matematika bukanlah untuk melakukan perhitungan semata , melainkan, untuk memperoleh pemahaman konseptual yang tepat, memungkinkan kita untuk bernalar tentang objek matematika dengan cara yang dapat menanggung perhitungan tetapi tidak terikat padanya. Dari perspektif itu, perhitungan dilihat sebagai manifestasi permukaan dari kumpulan pengetahuan yang jauh lebih dalam.

Pendekatan konseptual ini dimainkan dalam beberapa cara, termasuk abstraksi aljabar, reduksi dasar, penggunaan bahasa teori himpunan informal, dan penggunaan cara yang lebih liberal untuk menggambarkan objek dan struktur matematika tak terbatas. Tetapi sebagian besar juga melibatkan penekanan detail perhitungan dan mengadopsi metode yang bertentangan dengan pemahaman komputasi yang ketat.

G: Jadi mengapa para inovator seperti Hilbert dan Henri Poincare menantang ide-ide ini? Apa yang mereka taruh di tempat mereka?

JA: Banyak inovasi Poincare dapat dipahami dalam istilah ini. Misalnya, pada abad kesembilan belas dipahami dengan baik bahwa sistem persamaan diferensial dapat digunakan untuk memodelkan berbagai fenomena fisik, tetapi seringkali tidak mungkin untuk melakukan perhitungan yang akurat dan membuat prediksi yang andal berdasarkan deskripsi semacam itu. Poincare menunjukkan bahwa bahkan dalam kasus-kasus seperti itu seringkali dimungkinkan untuk memperoleh informasi kualitatif yang berguna tentang suatu sistem, misalnya, dengan mengabstraksikan sifat-sifat geometris atau topologinya.

David Hilbert adalah ahli teknik baru. Salah satu keberhasilan awalnya adalah menyelesaikan pertanyaan lama dalam teori invarian aljabar, menunjukkan bahwa jenis ekspresi aljabar tertentu ada tanpa menunjukkan cara menghitungnya. Sepanjang karirnya, Hilbert adalah juara besar metode baru, sebagaimana dibuktikan oleh pernyataannya yang terkenal bahwa tidak ada yang akan mengusir kita dari surga teori himpunan yang telah diciptakan Georg Cantor. Pada saat yang sama, dia sensitif terhadap kekhawatiran bahwa metode baru menyimpang jauh dari penalaran eksplisit tentang objek hingga, yang dilihatnya mewakili konten konkret matematika. Karya dasarnya dikhususkan untuk menjelaskan bagaimana penalaran tak terbatas tentang abstrak, objek ideal dapat dipahami memiliki konten konkret.

G:Inovasi besar lainnya yang terjadi pada akhir abad kesembilan belas dan awal abad kedua puluh adalah logika matematika. Bisakah Anda mengatakan sesuatu tentang ini dan mengapa tidak mudah untuk masuk ke dalam taksonomi matematika yang diterima secara umum pada saat itu yang mengkategorikan matematika sebagai geometri atau aritmatika?

J:Selama periode waktu itulah logika menjadi cabang matematika. Sejak zaman kuno, matematika telah dicirikan sebagai ilmu besaran, yang terbagi menjadi studi besaran kontinu, yaitu geometri, dan besaran diskrit, yaitu aritmatika. Pada pertengahan abad kesembilan belas, George Boole berpendapat untuk karakterisasi baru matematika untuk menemukan tempat untuk logika. Dia mengusulkan agar kita menganggap matematika sebagai ilmu perhitungan simbolik, mencatat bahwa kita dapat menghitung dengan proposisi sama seperti kita dapat menghitung dengan angka. Aljabarisasi logika di tangan Boole dan De Morgan, dan kemudian oleh orang lain seperti Peirce dan Schröder, sangat membantu membuat logika terasa lebih matematis.

G: Jadi, apakah logika menjadi disiplin matematika yang matang sekarang dan apakah ini karena perbedaan antara sintaksis dan semantik yang dikembangkan dalam komunitas logika daripada perubahan apa pun dalam komunitas matematika?

JA: Saya tidak berpikir perbedaan antara sintaksis dan semantik adalah alasan mengapa logika telah menjadi bagian dari matematika, melainkan, salah satu hasil dari transformasi itu. Pada awal abad kedua puluh, matematikawan mengembangkan cara yang ketat untuk bernalar tentang ekspresi simbolik dan interpretasi semantik mereka, dan keduanya memainkan peran penting dalam pengembangan teori.

Konon, logika masih menjadi kambing hitam komunitas matematika. Apa yang saya sukai dari logika adalah bahwa ia menyentuh filsafat, matematika, ilmu komputer, linguistik, ilmu kognitif, dan disiplin ilmu lainnya. Itu bagian dari apa yang membuatnya begitu menarik. Tetapi itu juga berarti bahwa logika mudah menjadi yatim piatu. Para filsuf menganggapnya terlalu mirip matematika, dan matematikawan menganggapnya terlalu mirip dengan ilmu komputer. Ilmu komputer adalah rumah alami, karena ekspresi simbolis dan interpretasinya sangat penting untuk subjek itu. Tetapi membatasi logika pada ilmu komputer menimbulkan kendala pada jenis penelitian yang dapat dilakukan, dan akan sangat disayangkan jika kita kehilangan relevansi filosofis dan matematisnya.

G: Mengapa dan bagaimana semantik penting untuk berkomunikasi dan berbagi pengetahuan matematika dan mengapa teori himpunan Zermelo Fraenkel penting dalam hal ini?

JA: Saya dilatih sebagai ahli teori pembuktian dalam tradisi Hilbert, jadi saya cenderung lebih menyukai sintaks daripada semantik. Dengan kata lain, saya fokus pada ekspresi simbolik dan aturan penggunaannya, dan tidak terlalu khawatir tentang referensi dan makna. Jadi saya pribadi menganggap teori himpunan sebagai kumpulan norma linguistik komunal, buku aturan dan panduan gaya untuk mengkomunikasikan argumen dan ide matematika. Setelah ini diartikulasikan dengan jelas sangat membantu di awal abad kedua puluh, karena menyediakan cara untuk menyatukan berbagai cabang matematika dan memahami metode abstraksi baru.

Yang mengatakan, saya tidak dogmatis tentang yayasan. Teori himpunan memberikan gambaran ideal tentang aktivitas matematika, yang informatif dan bermanfaat. Logika kategoris memberikan ide dan wawasan yang saling melengkapi, dan perspektif yang berbeda kompatibel. Matematika adalah apa adanya, dan semakin banyak cara yang kita miliki untuk memahaminya, semakin baik.

G: Apakah matematika telah berubah dari konstruktif menjadi sesuatu yang lain setelah abad kesembilan belas dan apakah itu berarti bahwa matematika yang dipahami saat ini sangat berbeda dari sebagian besar sejarahnya? Apakah ini terkait dengan penurunan peringkat komputasi dalam matematika yang mengikuti penemuan paradoks yang berasal dari penggunaan bahasa dan metode teori himpunan yang terlalu naif?

J:Matematika selalu berubah. Apa yang tetap konstan sepanjang sejarah adalah penekanan pada kejelasan dan ketepatan, dan kemampuannya untuk membangun konsensus komunal tentang apa yang diperlukan untuk menetapkan klaim secara definitif. Saya tidak ingin menyarankan bahwa matematika pada tahun 1850 dan matematika pada tahun 1950 adalah hal yang sama sekali berbeda. Tapi ya, ada perbedaan mendasar dalam bahasa dan pola penalaran yang terlihat pada tahun 1850 dan 1950, dan ini mencerminkan perbedaan yang menarik dalam cara matematikawan memahami subjek dan tujuannya.

Apa yang menjadi jelas pada akhir abad kesembilan belas dan awal abad kedua puluh adalah bahwa ada ketegangan antara, di satu sisi, keinginan untuk mengembangkan abstraksi yang kuat yang membantu kita memecahkan masalah yang lebih sulit dan memperluas jangkauan kognitif kita, dan, di sisi lain, keinginan untuk menghubungkan abstraksi tersebut dengan masalah pengukuran dan prediksi yang memotivasi subjek di tempat pertama. Ketegangan masih bersama kita hari ini. Mengembangkan teori dan abstraksi yang kuat adalah penting. Begitu juga menggunakan matematika untuk membuat pesawat terbang, mengelola ekonomi, dan menyembuhkan penyakit. Sangat menarik untuk melihat bagaimana disiplin berhasil melakukan keduanya pada saat yang bersamaan.

G:Jadi apa peran komputer dalam penyelidikan matematis – dapatkah mereka menawarkan bukti untuk pernyataan matematis dan/atau pemahaman matematis – dan apa yang dimaksud dengan ‘pemahaman matematis’ dalam konteks ini?

JA: Sampai saat ini, saya telah berbicara tentang penggunaan matematika untuk mendukung komputasi. Pertanyaan ini sebaliknya: bagaimana kita dapat menggunakan komputer untuk mendukung penalaran matematis? Ilmuwan komputer menggunakan frasa “metode formal” untuk merujuk pada metode komputasi berbasis logika yang dapat digunakan untuk menalar tentang perangkat keras dan perangkat lunak yang kompleks. Saya tertarik untuk mengeksplorasi bagaimana metode ini dapat digunakan dalam matematika juga.

Dalam bidang yang dikenal sebagai pembuktian teorema interaktif, komputer digunakan untuk memeriksa bukti matematis hingga primitif aksiomatik, memberikan jaminan kuat bahwa hasilnya benar. Dalam penalaran otomatis, komputer digunakan untuk menemukan hasil matematika baru. Aplikasi ini masih dalam tahap awal, dan matematikawan berhak untuk skeptis bahwa teknologi memiliki banyak hal untuk ditawarkan saat ini. Tetapi metode ini memiliki potensi yang sangat besar, dan saya tidak ragu bahwa dalam jangka panjang metode tersebut akan mengubah secara mendasar apa yang dapat kita lakukan.

Hasil terkenal seperti teorema empat warna dan bukti Thomas Hales tentang dugaan Kepler menunjukkan bahwa ada teorema menarik yang dapat direduksi menjadi perhitungan yang terlalu lama untuk dilakukan dengan tangan. Ini bisa membingungkan. Kami ingin matematika kami tidak hanya memberi tahu kami bahwa suatu teorema itu benar, tetapi juga membantu kami memahami mengapa itu benar, dan kami mungkin tidak merasa bahwa perhitungan yang panjang memberikan jenis pemahaman yang tepat. Tetapi komunitas matematika telah mulai mendamaikan dirinya dengan fakta bahwa terkadang bukti komputasi adalah semua yang berhak kita harapkan, dan semua yang benar-benar kita butuhkan. Dalam hal ini, pemahaman yang telah kita peroleh mungkin terletak pada fakta bahwa kita telah belajar bagaimana mereduksi masalah menjadi sebuah komputasi, dan mengapa reduksi bekerja.

Matematikawan adalah pragmatis. Kami ingin tahu jawabannya. Komputer pada dasarnya mengubah jenis hal yang dapat kita temukan dan verifikasi, dan jika kita dapat menggunakannya dengan baik, kita akan melakukannya. Ini akan terus menantang cara kita berpikir tentang matematika dan pemahaman matematika, dan saya berharap bahwa matematika akan terlihat sangat berbeda satu abad dari sekarang, mungkin berbeda seperti matematika 1950 yang akan terlihat oleh ahli matematika tahun 1850. Sementara itu, kami akan terus bergulat dengan teknologi baru.

G: Apakah matematika bersifat modular dan jika ya, mengapa secara epistemis berguna untuk memikirkan matematika dengan cara ini? Alternatif apa yang digantikan model ini?

J: Kata “modular” adalah istilah seni dalam sejumlah disiplin ilmu. Jika Anda pergi ke perpustakaan dan mengambil buku tentang rekayasa perangkat lunak, itu akan memberi tahu Anda bahwa penting untuk merancang perangkat lunak dengan cara modular. Ini akan memberi tahu Anda bahwa ini membuat perangkat lunak lebih kuat, lebih andal, lebih mudah dipahami, dan lebih mudah untuk beradaptasi dan dimodifikasi, dan ini akan memberi tahu Anda alasannya.

Saya telah membuat kasus yang membantu untuk memikirkan literatur matematika – definisi, teorema, dan bukti – dalam istilah ini. Penalaran secara efektif dalam matematika sebagian besar merupakan masalah manajemen informasi. Ini membutuhkan penemuan abstraksi yang menekan hal-hal yang tidak penting dan membiarkan kita fokus pada hal-hal yang penting. Ketika kita berpikir tentang matematika dalam istilah ini, banyak hal yang kita lihat terjadi di sana mulai lebih masuk akal.

Para filsuf terkadang mengabaikan pragmatik aktivitas matematika sehari-hari sebagai metodologi, sebagai lawan dari metafisika atau epistemologi, yang, menurut pandangan mereka, adalah tempat semua tindakan berada. Tetapi satu-satunya cara yang saya tahu untuk memahami metafisika dan epistemologi matematika adalah memulai dengan metode matematika. Matematika dirancang untuk memungkinkan kita bernalar secara efisien dan efektif, dan itu memiliki pengaruh kuat pada jenis objek yang kita bicarakan dan cara kita membicarakannya. Saya tidak dapat melihat bagaimana memahami sifat objek matematika tanpa memahami perannya dalam pemikiran matematika.

G: Apakah matematika sesuatu yang dirancang atau sesuatu yang ditemukan? Saya kira saya bertanya-tanya apakah menurut Anda matematika cocok dengan penjelasan metafisika dan epistemologi yang naturalistik atau Platonis?

JA: Kalau terpaksa memilih, saya akan turun di sisi desain, tapi menurut saya dikotomi itu menyesatkan. Anda juga dapat menanyakan apakah roda dan tuas ditemukan atau ditemukan. Saya kira lebih umum untuk mengatakan bahwa mereka diciptakan, tetapi Anda juga dapat mengatakan bahwa kami menemukan bahwa roda adalah tuas yang berguna untuk memindahkan sesuatu, dan bahwa kami belajar bagaimana menggunakannya dengan baik. Dengan cara yang sama, kita sering berbicara tentang penemuan transistor, tetapi Hadiah Nobel 1956 dianugerahkan untuk penemuan efek transistor.

Ketika kita mengerjakan matematika, kita berpartisipasi dalam pilihan bersama untuk membicarakan segitiga sama kaki dan bilangan prima, dan membicarakannya dengan cara tertentu. Kisah tentang bagaimana komunitas mencapai konsensus tentang bagaimana melakukan ini adalah kisah yang kompleks, tetapi matematika yang kita miliki saat ini adalah hasil dari keputusan yang tak terhitung jumlahnya, besar dan kecil, dan, dalam pengertian itu, saya pikir yang terbaik adalah memikirkannya. konsep matematika seperti yang dirancang. Tetapi kami menetapkan konsep-konsep itu karena kami menemukan bahwa mereka berguna untuk tujuan kami. Sekali lagi, cerita tentang bagaimana mereka berguna dan untuk apa mereka berguna adalah kompleks. Tapi saya pikir itulah yang filosofi matematika harus coba pahami.

Saya tidak berpikir kita harus memilih antara akun naturalistik atau Platonistik. Bill Tait merangkumnya dengan baik dalam salah satu esainya. Matematika dirancang untuk membantu kita memahami dunia fisik, dan itu memainkan peran penting dalam memahami mengapa matematika seperti itu. Tetapi sesuatu menjadi bagian dari matematika hanya ketika kita memperbaiki definisi, asumsi, dan aturan inferensi, dan kemudian kita hanya perlu menjawabnya. Benar atau tidaknya suatu teorema atau perhitungan hanya tergantung pada apakah kita telah mengikuti aturan dengan benar. Apakah itu berlaku atau tidak dalam pengaturan fisik tertentu adalah pertanyaan ilmiah, dan salah satu yang diputuskan dengan cara lain.

G: Apakah Hilbert orang yang tepat untuk Anda tentang metamatematika? Apa yang begitu penting tentang Hilbert bagi filsuf dan khususnya filsuf matematika? (Mungkin bermanfaat untuk memberi tahu kami sedikit tentang dia karena dia akan asing bagi banyak pembaca di luar matematika!)

JA:David Hilbert adalah salah satu matematikawan paling berpengaruh sepanjang masa. Dia membuat kontribusi mani di seluruh matematika, aljabar, teori bilangan, analisis, fisika matematika, kombinatorik, dan banyak lagi. Dia mengembangkan minat pada logika dan dasar-dasar matematika sekitar pergantian abad kedua puluh. Sekitar waktu itu, ditemukan bahwa penggunaan naif dari penalaran set-teoritis dan penalaran tentang yang tak terbatas menimbulkan kontradiksi. Pada awal 1920-an, Hilbert memberikan presentasi matang tentang apa yang kemudian dikenal sebagai ‘ program Hilbert ”, yang dirancang untuk menempatkan penggunaan metode tersebut di atas fondasi yang stabil. Dia mengusulkan untuk menggambarkan metode baru dengan aksioma dan aturan yang jelas, dan kemudian membuktikan, dengan menggunakan metode minimal yang tidak kontroversial, bahwa aksioma dan aturan ini bebas dari kontradiksi. (Istilah Jerman untuk itu adalah widespruchsfrei , sekarang diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris sebagai konsisten .)

Teorema ketidaklengkapan Gödel tahun 1931 menunjukkan bahwa program Hilbert tidak dapat berhasil seperti yang awalnya dirumuskan: tidak ada teori matematika yang masuk akal yang dapat membuktikan konsistensinya, jadi tentu saja tidak mungkin untuk menetapkan konsistensi suatu badan matematika yang kuat hanya dengan menggunakan sebagian kecil daripadanya. Tetapi seseorang dapat menginterpretasikan program secara lebih luas sebagai memiliki tujuan untuk memodelkan bagian-bagian dari penalaran matematis menggunakan aksioma dan aturan, dan mencoba untuk memahami apa yang dapat dan tidak dapat dilakukan oleh sistem, terutama sehubungan dengan bagian-bagian komputasional yang konkret dari subjek. Ditafsirkan seperti itu, program ini telah berhasil.

Saya memulai karir saya dengan bekerja keras dalam tradisi itu, dan sejak itu telah mengatur cara saya berpikir tentang matematika. Apa yang memungkinkan program Hilbert adalah bahwa bahasa dan norma-norma inferensial matematika mengakui deskripsi yang tepat, dan, menurut pendapat saya, itu harus menjadi titik awal untuk filsafat matematika. Itu bukan untuk menyangkal bahwa teori objek abstrak yang baik mungkin membantu kita memahami subjek, tetapi, pada akhirnya, data yang perlu kita jelaskan adalah definisi, teorema, dugaan, pertanyaan, dan argumen yang kita lihat dalam literatur. Tidak peduli apa yang kita katakan tentang apa yang terjadi di dalam, teori filosofis kita harus sesuai dengan manifestasi lahiriah.

Saya juga mengagumi Hilbert dalam arti yang lebih luas karena mampu membawa metode matematika untuk menanggung masalah filosofis secara luas dengan cara yang membumi, bukan omong kosong. Dia adalah seorang pragmatis. Dia sering digambarkan sebagai menyatakan bahwa matematika tidak lebih dari permainan simbol yang tidak berarti, tetapi, tentu saja, dia terlalu menghormati matematika untuk ini menjadi karakterisasi yang akurat dari pandangannya. Inti dari retorikanya yang terkadang berapi-api adalah, sejauh kita dapat memodelkan matematika dalam istilah formal, pertanyaan apakah metode tersebut konsisten adalah pertanyaan matematika yang tepat, bukan pertanyaan filosofis yang kabur.

G:Dan untuk mengakhiri outlier – apakah pemahaman Anda tentang verifikasi formal dan penalaran otomatis menunjukkan kepada Anda bahwa beberapa jenis AI mungkin terlihat seperti pemikiran manusia dan lulus tes Turing?

J:Verifikasi formal dan penalaran otomatis adalah bidang yang matang, tetapi metodenya masih sangat terbatas dalam hal penalaran matematis. Dengan pembuktian teorema interaktif, akan sangat membantu untuk memiliki otomatisasi yang dapat membenarkan kesimpulan kecil, daripada memaksa pengguna untuk mengeja semua detail dengan tangan. Tetapi bahkan jenis langkah inferensial langsung yang ditemukan dalam buku teks sarjana saat ini membutuhkan lebih banyak masukan dan panduan pengguna daripada yang kita inginkan. Otomasi bagus dalam melakukan tugas-tugas penalaran homogen yang besar dengan sangat cepat, tetapi tidak begitu bagus dalam menemukan dan menggabungkan fakta-fakta heterogen dari perpustakaan matematika yang mendasarinya.

Kami yang bekerja di bidang logika mengamati perkembangan terbaru dalam pembelajaran mendalam dengan gentar. AI telah lama dibagi antara simbolik, metode berbasis logika di satu sisi, dan perkiraan, teknik statistik di sisi lain. Fakta bahwa jaringan saraf memiliki kesuksesan yang luar biasa dengan permainan seperti go and chess membuat kita bertanya-tanya apakah mereka akan menggantikan metode simbolis sepenuhnya. Namun sejauh ini, teknik pembelajaran mesin memiliki keberhasilan yang lebih terbatas dalam hal penalaran matematis.

Saya yakin bahwa komputer pada akhirnya akan dapat melakukan jenis kesimpulan matematis yang kita lakukan hari ini. Fakta bahwa kita dapat belajar dan mengomunikasikan matematika berarti bahwa ada pola aturan dan harapan yang sama, dan saya tidak melihat alasan untuk berpikir bahwa ini tidak dapat dimekanisasi. Tapi jalan kita masih panjang. Saya tidak tahu apakah itu akan memerlukan teknik simbolis yang lebih baik atau teknik statistik yang lebih baik, dan apakah pengetahuan matematika formal akan datang dari database yang dikuratori dengan hati-hati atau mengatur pembelajaran mesin yang longgar di web. Kami harus banyak belajar, dan akan sangat menarik untuk melihat ke mana teknologi membawa kami.

Omong-omong, ini adalah tempat lain di mana matematika, ilmu komputer, dan filsafat dapat bersatu. Matematikawan pandai mengerjakan matematika, ilmuwan komputer pandai merancang algoritme, dan filsuf pandai mengungkap norma, asumsi, dan harapan yang tersirat dalam suatu praktik. Kita bisa menyerahkan AI kepada ilmuwan komputer, tapi saya pikir kita akan membuat kemajuan yang lebih baik dengan perspektif yang lebih bervariasi. Tapi itu membutuhkan mengatasi tekanan akademis yang cenderung mendorong spesialisasi dan menghambat interaksi. Ada kesenjangan budaya yang besar yang memisahkan matematikawan dari ilmuwan komputer, tetapi saya senang melihat bahwa mereka masih berbicara satu sama lain, dan belajar satu sama lain, dalam hal penalaran matematika. Saya lebih khawatir tentang filsafat matematika.

G: Dan terakhir, apakah ada lima buku yang bisa Anda rekomendasikan yang akan membawa kita lebih jauh ke dunia filosofis Anda?

JA: Saya merekomendasikan menghabiskan waktu dengan salah satu karya mani dalam sejarah matematika dan pemikiran matematika.

, , ,