Filsafat dan Sejarah Matematika

Filsafat dan Sejarah Matematika – Logika dan matematika adalah alat untuk hampir semua anggota Departemen, tetapi mereka juga objek penyelidikan. Sebagai alat, mereka menyediakan sarana untuk menangkap aspek pengalaman secara ketat; sebagai objek penyelidikan mereka diperiksa untuk koherensi internal mereka, pembenaran filosofis mereka, dan kecukupan mereka untuk tujuan tertentu. Sejak zaman kuno, telah ada hubungan erat antara pemikiran filosofis dan matematika, hubungan yang dapat dilihat dalam refleksi filosofis Plato, Descartes, Leibniz, dan Kant.

Filsafat dan Sejarah Matematika

 Baca Juga : Haruskah Teorema Pythagoras Diganti Namanya Nenjadi Teorema Thalean?

Interaksi halus antara filsafat dan matematika juga dapat dilihat dalam perkembangan matematika pada abad ke-19, yaitu, dalam kemajuan konseptual revolusioner yang dibuat oleh Dirichlet, Riemann, Dedekind dan lainnya, serta dalam perubahan dramatis yang serupa dalam logika, yang dibawa sebagian besar oleh Boole, Frege, Peano, Peirce, dan Schröder. Dilengkapi dengan evolusi ilmu yang terus berlanjut, misalnya dalam karya Hertz, Mach, dan Einstein, perkembangan ini menjadi latar belakang munculnya filsafat analitik awal dan logika matematika modern. Latar belakang sejarah ini secara signifikan membentuk kembali diskusi kontemporer dalam filsafat matematika.

Subjek sangat dipengaruhi oleh hasil penyelidikan meta-matematis, tetapi yang paling penting, untuk pekerjaan di departemen ini, juga oleh praktik matematika. Teorema ketidaklengkapan dianggap, dengan tepat, sebagai permata kerja dalam logika matematika abad terakhir. Mereka juga dipandang memiliki makna filosofis yang sangat besar; yang tampaknya benar, tetapi hanya relatif terhadap konsep “sistem formal” yang tepat. Yang terakhir ini didefinisikan menggunakan gagasan komputabilitas. Di satu sisi, orang dapat memahami pandangan Godel dan Turing yang tampaknya bertentangan tentang pengetahuan matematika dan kapasitas pikiran manusia. Di sisi lain, seseorang dapat kembali dan melihat apa yang seharusnya ditangkap oleh “teori formal” dan mengungkap transformasi dramatis matematika di abad ke-19.

Pandangan “strukturalis” tentang matematika yang ditemukan dalam karya “dasar” Dedekind benar-benar muncul dari karya konkretnya dalam teori bilangan aljabar. Perspektifnya yang luas tentang matematika memengaruhi pandangan itu, yang tentu saja juga dipengaruhi oleh Gauss, Dirichlet, dan Riemann. Sieg telah mengambil pandangan itu sebagai titik awal dan menggabungkannya dengan perspektif kuasi-konstruktif dari domain yang dapat diakses untuk sampai pada artikulasi “strukturalisme reduktif”. Posisi ini memecahkan sejumlah masalah epistemologis dan ontologis tradisional. Dengan Awodeydan sejumlah rekan lainnya, Sieg mengedit dan menerjemahkan esai filosofis yang luar biasa dan paling signifikan dari kolaborator Hilbert di perusahaan teori pembuktian, Paul Bernays. Perspektif Sieg sendiri dikembangkan dalam bukunya Hilbert’s Programs and Beyond yang diterbitkan oleh Oxford University Press.

Filsafat matematika secara tradisional berkaitan dengan pertanyaan tentang pembenaran dan kebenaran. Tetapi akhir-akhir ini sejumlah peneliti telah bertujuan untuk mengkarakterisasi tujuan dan nilai metodologis yang lebih umum yang mempengaruhi keputusan yang dibuat matematikawan dalam praktik sehari-hari mereka, misalnya, ketika mengajukan pertanyaan, merumuskan definisi, menulis bukti, dan menyusun teori. Menggunakan wawasan dari teori pembuktian, verifikasi formal, dan sejarah matematika, Avigad telah bekerja untuk mengembangkan penjelasan yang lebih kuat tentang konsep, metode, dan pemahaman matematika.

Awodey sedang menjajaki hubungan antara teori kategori dan strukturalisme, terutama dalam kaitannya dengan program Yayasan Univalent yang baru. Yayasan Univalen mencakup aksioma dasar baru, Aksioma Univalensi, yang menurutnya struktur isomorfik dapat diidentifikasi. Prinsip baru ini memiliki konsekuensi filosofis yang jelas, dan tidak diragukan lagi akan menantang para filsuf matematika untuk menyesuaikan pandangan mereka. Para filsuf yang tertarik pada strukturalisme mulai menyadari pentingnya perkembangan terakhir ini, misalnya beberapa filsuf fisika terkemuka termasuk Ladymann (Bristol) dan Halvorson (Princeton) secara aktif terlibat dalam penelitian filosofis tentang Yayasan Univalen. Selain buku yang komprehensif Teori Jenis Homotopi, Awodey telah menulis sebuah artikel survei tentang topik Univalensi dan strukturalisme yang akan diterbitkan dalam jurnal Philosophia Mathematica yang akan berfungsi untuk memperkenalkan subjek tersebut kepada para filsuf matematika yang lebih luas.

Sejarah matematika dapat menjadi bantuan yang berguna dalam mengembangkan filosofi matematika yang kuat dan informatif. Sieg telah mengeksplorasi perspektif logika dan strukturalis yang ditemukan dalam tulisan-tulisan dasar Dedekind. Perspektif ini muncul dari karya matematika konkret yang dilakukan Dedekind dalam teori bilangan aljabar, dan mereka sangat kontras dengan perspektif Leopold Kronecker sezamannya. Dalam bekerja dengan Rebecca Morris, masing-masing dengan Dirk Schlimm, Sieg telah menganalisis sebagai fitur utama dalam karya Dedekind pengenalankonsep abstrak (struktur) dan penggunaan pemetaan pelestarian struktur antara struktur yang berbeda (dari jenis yang sama). Konsep abstraksi yang terlibat di sini bukanlah konsep klasik, yang ditemukan misalnya dalam “Logik” Kant, melainkan konsep yang diungkapkan dalam tulisan-tulisan tentang logika filsuf Göttingen yang sezaman dan sangat berpengaruh, Hermann Lotze.

Avigad telah mengeksplorasi aspek metodologis karya Dedekind, terutama pengembangan teorinya tentang pembagi ideal, dalam upaya memahami cara pertimbangan metodologis tersebut berinteraksi dengan pandangan filosofis. Dengan Rebecca Morris, ia telah mempelajari sejarah teorema mani Dirichlet pada bilangan prima dalam deret aritmatika, yang menjelaskan kekuatan metodologis yang membentuk pengembangan konsep fungsi modern, serta beberapa masalah yang harus ditangani Frege dengan perlakuannya. fungsi. Avigad juga telah mempertimbangkan pandangan filosofis Kurt Gödel vis-a-vis tradisi meta-matematis, dan telah mencoba untuk mengkarakterisasi dan menjelaskan ketegangan yang tidak nyaman antara pandangan Gödel dan Carnap.

Karya konkret ini pada perubahan dramatis dalam evolusi matematika selama abad ke-19, di mana beberapa orang berbicara tentang “transformasi subjek” yang lain tentang “revolusi”, memiliki dampak mendalam pada filsafat matematika – subjek yang baru-baru ini dua puluh tahun yang lalu disibukkan dengan “Grundlagenstreit” antara Brouwer dan Hilbert pada 1920-an. Baik Hilbert maupun Brouwer sangat terkait dengan isu-isu luas yang disinggung di atas. Sieg, bersama rekan-rekan W. Ewald, M. Hallett, dan U. Majer, telah mengerjakan pengeditan catatan kuliah Hilbert yang tidak diterbitkan dari tahun 1890-an hingga 1930-an. Mereka membuka perspektif yang benar-benar baru dan segar tentang evolusi pemikiran dasar Hilbert dan munculnya teori pembuktian, tetapi itu juga berarti tentang asal-usul filsafat analitik.