Fenomenologi, Logika, dan Filsafat Matematika

Fenomenologi, Logika, dan Filsafat Matematika – Meskipun filsuf Edmund Husserl (1859-1938) tidak disebutkan dalam judulnya, buku ini sebagian besar tentang filosofi matematikanya. Tieszen menyajikan dan mengembangkan fitur-fitur utama dari filosofi ini, dengan demikian memberikan layanan yang berharga bagi mereka yang ingin melihat matematika dengan mata filosofis.(Kecuali dinyatakan lain, semua halaman referensi berkaitan dengan buku yang sedang ditinjau.)

Fenomenologi, Logika, dan Filsafat Matematika

 Baca Juga : Filsafat, Matematika, Logika dan Komputer

gitit – Tieszen menempatkan filsafat matematika Husserl dalam konteks pandangannya tentang sains (hlm. 24-34). Dia berpendapat bahwa logika murni menyediakan “kondisi untuk kemungkinan ilmu apapun”. Istilah “logika” di sini digunakan dalam arti luas. Logika ini distratifikasi dalam tiga level yang (secara kasar diletakkan) memilih ekspresi yang terbentuk dengan baik dan bermakna (“This S is P” tapi bukan “This is or”), dari ini memilih ekspresi konsisten yang bermakna dan tidak masuk akal (“Pohon ini hijau” tetapi bukan “Ini ceroboh adalah hijau”), dan dari ini memilih ekspresi yang benar. Yang terakhir melibatkan kerja intuisi dan penilaian intersubjektif. Setiap ilmu membahas berbagai objek yang relevan. Masing-masing adalah “ilmu regional” yang sesuai dengan “ontologi regional”.

Fenomenologi transendental — “ilmu kesadaran dengan segala struktur dan karakteristiknya yang beragam” — adalah salah satunya. Ini sangat penting bagi sains secara keseluruhan karena semua sains mengandaikan apresiasi pra-ilmiah kolektif yang sadar terhadap dunia objek biasa, pemandangan, suara, dan sebagainya, dari mana abstraksi ilmiah diambil.

Kesadaran tidak dapat dipelajari secara memadai oleh ilmu objektif (psikologi modern, misalnya) yang berjuang untuk pandangan orang ketiga. Secara khusus, ilmu objektif selalu merindukan sifat intensionalitas – fitur pengalaman seperti memiliki keyakinan atau persepsi yang membuatnya tentang sesuatu yang lain.(Persepsi saya saat ini adalah tentang layar komputer di depan saya.)

Kegagalan sepenuhnya untuk mengenali dan menyelidiki sifat dan implikasi dari sisi sadar dari usaha ilmiah telah menyebabkan krisis dalam sains (menurut Husserl). Disiplin-disiplin terkemuka seperti fisika menjadi terikat pada pandangan yang murni faktual dan objektif, mengecualikan pertanyaan seperti apa arti sains bagi kemanusiaan. (Disiplin-disiplin yang lebih dekat dengan ilmu pengetahuan manusia mencoba mengikutinya.)

Dalam matematisasi ilmu Galileo, alam diidealkan, dibentuk dalam istilah geometri murni. “Formula-makna” — fenomena yang ditangkap dalam formula — menggantikan makna yang sebenarnya. Meskipun matematisasi ini adalah pencapaian yang luar biasa, semacam hasil superfisialisasi — terlepas dari rumus apa yang mungkin terjadi. Aspek teknologi dan matematika murni dari sains menghasilkan dunia tersendiri. Tieszen berkomentar:“Jenis kenaifan telah berkembang. Galileo adalah seorang penemu sekaligus agen penyembunyi”.

Keterasingan ilmu dari makna aslinya, yaitu dari kemunculannya secara historis melalui proses idealisasi dari dunia nyata harus diluruskan (menurut Husserl). Pengungkapan sejarah ilmu pengetahuan perlu dilakukan oleh para filosof dan fenomenolog.

Melihat sejarah kemunculan sains (termasuk matematika) tidak menyiratkan fokus pada sejarah “empiris” tetapi pada kondisi yang luas dan diperlukan yang memungkinkan munculnya murid atau bidang dalam sains. Memahami munculnya ilmu merupakan bagian tak terpisahkan dari pengertian ilmu.

Dalam kemunculan geometri, Husserl memiliki pengalaman persepsi dasar yang memainkan peran kunci, serta formalisasi. Geometri, misalnya, dipandang muncul dari pengalaman sadar dengan “fitur dasar bentuk dalam praktik pra-ilmiah dan pengalaman indera kita sehari-hari”

Artinya, pengalaman ini menyediakan kondisi untuk kemungkinan geometri modern. Kondisi lain seperti itu — berikutnya dalam hierarki kondisi — adalah idealisasi, khususnya idealisasi kesempurnaan atau ketepatan. Ini muncul dari pengalaman dengan pengukuran:

Idealisasi adalah hasil alami dari penyempurnaan dan penyempurnaan pengukuran. Setiap pengukuran memperoleh pengertian pendekatan ke kutub yang tidak dapat dicapai tetapi identik secara ideal, yaitu dengan salah satu idealitas matematis yang pasti atau salah satu konstruksi numerik yang dimiliki oleh mereka.

Formalisasi diantar oleh geometri Cartesian, di mana angka dan ekspresi aljabar mewakili objek geometri, memberikan kondisi berikutnya. Ini membuka pintu ke geometri yang lebih abstrak (misalnya, lebih dari tiga dimensi). Dalam situasi ini, intuisi yang terkait dengan pengalaman dengan bentuk tidak dapat lagi memberikan dasar.

Pemeliharaan konsistensi logis dalam kasus ini perlu diandalkan. Begitu geometri tingkat lanjut ada, formalismenya terbuka untuk berbagai interpretasi. Interpretasi formalisme non-Euclidean dapat diterapkan pada alam, meskipun, bagi Husserl, geometri Euclidean mungkin masih yang terbaik untuk secara matematis memberikan ruang pengalaman spasial biasa.

Metode “variasi bebas”, bagi Husserl, mengarah pada penemuan dan kemajuan matematika. Tieszen menjelaskan gagasan ini dengan menggunakan contoh-contohnya sendiri yang diambil dari geometri . Dia mengamati bahwa baik jarak antara titik pada garis dan urutan titik-titik ini tetap (tentu saja) invarian di bawah terjemahan (variasi bebas) di sepanjang garis.

Invarian lain sesuai dengan variasi bebas lainnya. Dalam menyadari invarian, kita menjadi sadar akan esensi dari suatu objek atau keadaan. Teori grup sebagaimana diterapkan pada transformasi geometris (dalam program Erlanger), catatan Tieszen, dapat dilihat sebagai cara untuk mengekspresikan invarian ini.

Dalam pandangan Husserl, objek matematika terdiri dari invarian atau identitas dalam pengalaman. Untuk sejumlah alasan, ini bukan objek sensorik. Mereka tidak terjadi dalam ruang dan waktu, tidak berubah, dan tidak saling berinteraksi secara kausal.

Objek matematika memiliki dasar dalam kesadaran, meskipun mereka dianggap independen. Dengan cara ini, Husserl menghindari Platonisme tradisional yang (pengkritik Platonisme berpendapat) menempatkan objek matematika di alam metafisik di luar jangkauan kognisi. Tidak ada “sesuatu ‘metafisik’ di balik fenomena” .

Konsep intensionalitas terletak pada pusat pemahaman pemikiran matematika. Tindakan kognitif selalu diarahkan pada sesuatu atau tentang sesuatu.

Tindakan kognitif terdiri dari percaya, mengharapkan, mengetahui, mengingat, dll. Konten dinyatakan dalam klausa “itu”. Konten tindakan, misalnya, adalah “Saya percaya bahwa 1+1=2”. (Untuk konten dan makna Husserl berjalan bersama.) Tindakan dan konten dalam matematika didasarkan pada tindakan dan konten dalam pengalaman indrawi. kondisi untuk kemungkinan pengetahuan matematika bahwa ada tindakan refleksi dan abstraksi dari pengalaman sensorik dasar kita .

Meskipun didirikan pada tindakan dan konten seperti itu, beberapa matematika menjadi jauh dari sumber ini. idealisasi, abstraksi, dan formalisasi kita dalam matematika cukup jauh dari asalnya” . Intensionalitas pemikiran manusia, tentang matematika dan hal-hal lain, melibatkan pemahaman atau intuisi esensi (yaitu, kategori di mana objek ketakutan jatuh). “Intuisi” dalam konteks ini digunakan dalam arti yang secara luas analog dengan “persepsi” di mana keduanya berhubungan dengan kedekatan. Secara umum, Husserl menentang upaya untuk mengurangi intuisi konsep abstrak sepenuhnya dalam matematika menjadi sesuatu yang lain.

Husserl setuju dengan konstruktivisme matematis dalam arti bahwa mengalami (dalam beberapa cara, intuisi) objek (diberikan sebagai invarian dalam pengalaman) dihitung lebih dari sekadar menunjukkan keberadaannya dalam, misalnya, bukti dengan kontradiksi, meskipun Husserl tidak menolak bagian nonkonstruktif. matematika. Ini dapat tunduk pada klarifikasi makna dan berbagai latihan yang berpotensi produktif lainnya.

Intuisi seringkali terbatas. Husserl, dengan demikian, menganut teori keandalan pengetahuan matematika yang terukur dan bertingkat. “[T]tidak ada bukti absolut yang sesuai dengan kebenaran absolut” (Tieszen menulis tentang pandangan Husserl, hlm. 63). Namun, tidak seperti banyak pemikiran filosofis saat ini yang meragukan pengetahuan matematika, filsafat Husserl dapat menerima klaim pengetahuan matematika yang stabil.

Memahami pendekatan filosofis Husserl untuk matematika membantu dalam memahami klaim terkenal Gödel, yang sangat dipengaruhi oleh Husserl, tentang intuisi matematika. Godel menulis:

Saya tidak melihat alasan mengapa kita harus kurang percaya diri dalam persepsi semacam ini, yaitu, intuisi matematika, daripada persepsi indra, yang mendorong kita untuk membangun teori fisik dan berharap bahwa persepsi indra di masa depan akan setuju dengan mereka .( Gödel 1964, hal.268; dikutip dari Tieszen, Pada kesan pertama, kutipan ini mungkin tampak mudah dibantah karena objek persepsi (indra) secara fisik menyebabkan persepsi mereka sendiri (bersama dengan faktor penyebab lainnya), tetapi objek matematika (dan situasi) tidak dapat menyebabkan ketakutan mereka sendiri, bahkan sebagian, karena sifat abstrak mereka.

Namun, anggaplah seseorang mempertimbangkan persepsi sadar dari sudut pandang fenomenologis. Ia dapat menerima dukungan pembuktian dari persepsi sadar lainnya. Atau, itu bisa direvisi, atau bahkan mungkin ditolak sebagai salah, dengan bukti yang datang dari persepsi berikutnya. Artinya, persepsi berikutnya mengkonfirmasi atau mengubah keyakinan dalam isi persepsi asli. Akhirnya keyakinan kita bisa stabil untuk menghasilkan keyakinan yang pasti. Kisah ini diceritakan tanpa mempertimbangkan sebab akibat. Hanya persepsi sadar yang dipertimbangkan.

Akibatnya, penyebab persepsi indera gagal untuk memblokir perbandingan, yang dibuat oleh Gödel, persepsi indera dengan intuisi matematika. Memang, banyak cerita yang sama dapat terungkap mengenai verifikasi, atau pembalikan, intuisi matematika awal dengan pengalaman berikutnya. Selanjutnya, perbandingan dekat sekarang diperoleh antara ilusi dalam persepsi dan ilusi dalam intuisi matematika. Perbandingan ini juga diakui oleh Gödel. Tieszen menulis: Perbandingan ini juga diakui oleh Gödel. Tieszen menulis: Perbandingan ini juga diakui oleh Gödel. Tieszen menulis:

Gödel menyatakan . bahwa “paradoks teori himpunan hampir tidak bisa lagi merepotkan matematika daripada penipuan indra untuk fisika” (Gödel 1964, hlm. 268). Penemuan paradoks teori himpunan menunjukkan bahwa pada konsep naif himpunan kita berada di bawah ilusi tentang apa itu himpunan, yang mengarah pada koreksi atau penyempurnaan pengetahuan kita, sama seperti saya berada di bawah ilusi tentang keberadaan ular di bawah kendali saya. tempat tidur pada tahap tertentu dalam pengalaman saya, ilusi yang bisa benar di bawah pengalaman lebih lanjut.

Tieszen mendokumentasikan fokus utama Gödel pada filsafat sejak tahun 1943, dilakukan sebagian oleh keinginan untuk mengakomodasi matematika untuk penemuan matematikanya sendiri yang menghilangkan program Hilbert. Upaya filosofis Gödel menyebabkan dia sangat menghargai filosofi matematika Husserl. Penilaian filosofis Gödel tentang program Hilbert sangat menarik.

Hilbert berusaha menangkap, atau mereduksi, semua matematika menjadi manipulasi kombinasi yang terbatas dari simbol-simbol konkret yang bentuknya tidak salah lagi dan segera dapat dikenali. Konsep matematika abstrak jauh di luar jangkauan persepsi dan dengan demikian tidak tersedia untuk intuisi konkret – seperti banyak ide dalam teori himpunan – ditangani dengan pengenalan apa yang disebut elemen ideal. Teorema Gödel yang secara matematis melepaskan proyek ini menyarankan penilaian filosofis Husserlian yang diartikulasikan oleh Tieszen:

Program Hilton tidak memberikan esensi matematika atau konsep abstrak karena haknya. Ini menunjukkan kebutaan atau prasangka tertentu tentang mereka. Ini adalah upaya, pada dasarnya, untuk menunjukkan bahwa keterarahan terhadap esensi atau konsep abstrak dapat direduksi menjadi keterarahan terhadap konkrit, konfigurasi tanda terbatas dan operasi kombinatorial pada objek tersebut.

Tieszen menunjukkan bahwa dalam berbagai cara Gödel menganut penilaian filosofis ini. Selain itu, Gödel merekomendasikan intuisi objek matematika yang sepenuhnya abstrak, di mana seseorang secara langsung berurusan dengan makna matematika daripada dengan upaya Hilbert untuk mengurangi makna ini menjadi tanda dan manipulasi kombinatorialnya. Sekali lagi, kursus ini mengikuti Husserl.

Fenomenologi, Logika, dan Filsafat Matematika menjadi perhatian khusus bagi matematikawan dalam (setidaknya) tiga cara. Pertama, ada catatan Tieszen tentang karya Gödel dalam filsafat matematika, karya yang umumnya tidak dikenal dalam matematika pada umumnya.

Kedua, penjelasan Tieszen tentang pandangan Husserl tentang gradasi bukti untuk proposisi matematika tampaknya berguna bagi mereka yang menjawab pertanyaan kepastian dalam matematika dalam konteks jangkauan dan percabangannya yang luas saat ini (termasuk ke dalam bentuk komputasi). Ketiga, matematikawan yang khawatir tentang penggunaan matematika yang tampak membabi buta di banyak bidang yang berpotensi merugikan kesejahteraan manusia dapat menemukan sumber daya untuk mempertajam dan mengekspresikan pandangan mereka dalam perlakuan Tieszen terhadap pandangan Husserl tentang krisis sains.

, ,