Batas Logika, Apa yang Terjadi Ketika Logika Salah? – Mari kita lihat mengapa Hukum Pengecualian Tengah salah (kadang-kadang), temukan masalah mendasar di jantung Matematika, sebelum akhirnya mencoba menyelesaikan apa yang salah.
Batas Logika, Apa yang Terjadi Ketika Logika Salah?
gitit – Anda juga akan belajar bagaimana memahami akar negatif dari -1, mempelajari analisis secara singkat, serta membuktikan bahwa semua orang Kreta adalah pembohong hanya dengan menggunakan logika.
Berbekal apresiasi yang lebih besar dari logika, aksioma dan matematika, kami akan menunjukkan beberapa kekurangan dalam Filsafat Barat, khususnya dalam gagasan Immanuel Kant tentang kebenaran apriori (Epilog III). Dalam twist yang indah, konsepsi matematika yang diberikan akan bertepatan dengan ide-ide ‘ différance ‘ yang diberikan oleh Derrida (Epilog IV). Ada juga hubungan antara logika dan determinisme di Epilog V.
Pembohong Kreta, sekitar tahun 600 SM
Itu adalah hari yang panas di Kreta, dan Filsuf Epimenides membuat kerusakan. Dia telah menemukan cara untuk membuktikan sesuatu dengan logika yang, yah, seharusnya tidak bisa dibuktikan dengan logika.
Sebagai nilai tambah, pada masa itu dia tidak perlu bersusah payah melalui peer review, atau menjadi asisten peneliti yang tidak dibayar di hari liburnya. Di bawah ini adalah gambar Epimenides berbagi penemuan filosofisnya dengan tanaman pot.
Dia menyatakan, untuk tanaman potnya. Di sini, dengan pembohong, yang kami maksud adalah seseorang yang tidak pernah mengatakan yang sebenarnya.
Nah, bagaimana jika pernyataannya itu benar? Kemudian kita memiliki kontradiksi, karena di sini ada orang Kreta yang mengatakan yang sebenarnya.
Baca Juga : Fakta Menarik Dibalik Misteri Pi Pada Matematika
Hukum Tengah yang Dikecualikan sekarang masuk. Hukum ini menyatakan bahwa suatu pernyataan benar, atau negasinya benar. Kami baru saja menunjukkan pernyataan itu tidak mungkin benar (karena akan ada kontradiksi).
Tunggu satu detik. Tentunya apakah semua orang Kreta pembohong atau tidak adalah masalah sejarawan dan arkeolog untuk menilai, bukan untuk kita simpulkan dari logika saja?
Ini akan menjadi negara adidaya yang lucu. (Jika Anda ingin lebih detail tentang paradoks ini, lihat Epilog II)
Kecuali… mungkin kita membuat asumsi yang salah dalam Hukum Tengah yang Dikecualikan. Mungkin ada pilihan lain. Tapi lebih lanjut tentang ini nanti.
Mengesampingkan seluk-beluk Logika
Ada dua hukum logis yang sering digabungkan.
Hukum Bagian Tengah yang Dikecualikan: pernyataan benar atau negasinya benar
Prinsip Bivalensi: setiap pernyataan benar atau salah
Pertimbangkan melempar dadu. Pernyataan ‘Saya akan menggulung enam’ tidak (tentu saja) benar atau salah: itu probabilistik. Jadi prinsip bivalensi gagal. Tapi LEM berpendapat: pernyataan “Saya akan menggulung enam atau saya tidak akan menggulung enam” adalah pernyataan yang benar.
Tremor di dasar Matematika
Jika Anda seorang ahli matematika, ini harus membunyikan lonceng alarm.
Hukum Tengah yang Dikecualikan sangat penting untuk matematika. Seperti yang dikatakan Hilbert seorang matematikawan yang benar-benar hebat mengatakan, ‘mengambil hukum bagian tengah yang dikecualikan dari ahli matematika akan seperti menyangkal astronom dengan teleskop atau petinju menggunakan tinjunya’.
Dalam matematika kita berurusan dengan pernyataan abstrak seperti itu, lebih mudah untuk membuktikan bahwa jika sesuatu tidak benar, kita memiliki kontradiksi, daripada benar-benar membangun hal yang dipertanyakan.
Pendiri matematika intuisionis (ketat), Brouwer, memutuskan di kemudian hari bahwa penemuan sebelumnya di Topologi tidak valid karena penggunaan bukti dengan kontradiksi.
Berikut ini contohnya, tetapi jangan ragu untuk melewatkannya jika itu merupakan penghalang untuk memahami artikel yang lebih luas. Saya telah menempatkan contoh di kotak kutipan untuk membantu melewati jika Anda mau.
Misalnya, perhatikan sebuah kotak persegi panjang.
Anda akan melempar anak panah yang mendarat di dalam kotak. Setiap kali anak panah mendarat, Anda menggambar lingkaran dengan jari-jari yang sama di sekitar titik. Misalnya, Anda dapat memilih radius 0,1 cm untuk menggambar di sekitar setiap anak panah.
Jika kita terus seperti ini, bagaimana kita membuktikan bahwa setelah sejumlah lemparan yang terbatas, kita telah menutupi seluruh papan panah persegi panjang dengan lingkaran yang digambar?
Tampaknya jelas bahwa itu benar untuk kotak itu. Tapi kami ingin membuktikan itu benar untuk bentuk apa pun dengan sifat tertentu, dengan nama teknis kekompakan. Bentuk ini bahkan mungkin berdimensi tak terbatas — coba visualisasikan itu!
Dengan hukum tengah yang dikecualikan, pembuktiannya ‘sederhana’. Kami berasumsi bahwa kami dapat mengambil poin tanpa batas.
Kita kemudian dapat menggunakan hasil yang diketahui bahwa jika kita melempar anak panah dalam jumlah tak terbatas ke dalam ruang yang kompak, seperti kotak, kita dapat memilih urutan anak panah yang mendekati secara sewenang-wenang. Tapi ini kontradiksi, karena titik-titik yang dipilih lebih dari radius tetap (katakanlah, 0,01 seperti sebelumnya) terpisah. Jadi, dengan asumsi pernyataan itu salah, kita mendapatkan kontradiksi. Jadi kami menyimpulkan bahwa pernyataan itu benar.
Penjelasan singkat kedua tentang teknis logika
Perbedaan penting lainnya adalah antara Hukum Non Kontradiksi dan Hukum Tengah yang Dikecualikan.
Hukum Dikecualikan Tengah: pernyataan (P atau tidak P) adalah benar.
Hukum non kontradiksi: (P dan bukan P) salah.
Jika Anda memanggang kue, dan kue itu setengah matang, Anda mungkin tidak ingin menegaskan bahwa kue itu, saat ini, adalah kue, tetapi juga tidak mengatakan bahwa itu bukan kue. Sebaliknya, itu dalam beberapa keadaan perantara.
Jadi, sementara kami tidak mengizinkan hal-hal yang kontradiktif untuk hidup berdampingan, kami tidak membatasi kategori kami sebanyak untuk menggambarkan realitas. Kami mengizinkan kategori kami menjadi sedikit kabur.
Intuisi dan Memanggang Kue
Sekarang mungkin jelas bahwa masalah dalam logika terkait erat dengan memanggang.
bukan lagi bukti P yang valid. Saya belum benar-benar membangunnya! Menurut pendapat Brouwer, Anda tidak dapat berasumsi bahwa ada ranah abstrak dari pernyataan matematis dengan label benar atau salah yang dilampirkan. Jika alam mistik ini ada (dalam beberapa hal kita tidak dapat membuat kepala atau ekor, lihat artikel ini ) maka pendekatan konstruksi tidak diperlukan.
Ini agak abstrak, jadi mari kita bayangkan Hilbert membuat kue. Dan Hilbert menyimpulkan, dari baunya, bahwa pernyataan ‘tidak ada kue di dalam oven’ adalah salah. Jadi, dia dengan senang hati mulai pergi dan memanggil semua orang untuk makan malam, karena kuenya sudah siap.
Tapi Brouwer menghentikannya, dan mengatakan bahwa Hukum Tengah yang Dikecualikan tidak berlaku. Sebelum dia membuat semua orang melahap campuran kue setengah matang, dia harus membuka oven sialan itu dan melihat apakah itu kue atau bukan.
Ada kemungkinan, Brouwer mengakui, bahwa Hilbert benar, tetapi memperingatkan bahwa kita tidak dapat memastikan sampai kita melihat dengan mata kepala sendiri. Inilah saya menggunakan beberapa lisensi kreatif.